Cho xyz = 1 và x + y + z = \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\). Chứng minh rằng trong 3 số x, y, z có ít nhất 1 số bằng 1.

x + y + z = \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{{xy + yz + zx}}{{xyz}} = xy + yz + zx\).

⇔ x + y + z – xy – yz – zx = 0

⇔ xyz – xy – zx – yz + x + y + z – 1 = 0 (vì xyz = 1)

⇔ xy (z – 1) – (z – 1)x – y(z – 1) + (z – 1) = 0

⇔(z – 1)(xy – x – y + 1) = 0

⇔(z – 1)(x – 1)(y – 1) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\y - 1 = 0\\z - 1 = 0\end{array} \right.\,\,\,hay\,\,\left[ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\\z = 1\end{array} \right.\)

Vậy 1 trong 3 số x, y, z có ít nhất 1 số bằng 1.