Cho: x^3 + y^3 + 3(x^2 + y^2) + 4(x + y) + 4 = 0 và xy > 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Cho: x3 + y3 + 3(x2 + y2) + 4(x + y) + 4 = 0 và xy > 0.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(M = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}\).
x3 + y3 + 3(x2 + y2) + 4(x + y) + 4 = 0
\( \Leftrightarrow \) (x + y)3 – 3xy(x + y) + 3(x + y)2 – 6xy + 4(x + y) + 4 = 0
\( \Leftrightarrow \)[(x + y)3 + 2(x + y)2 +(x + y)2 + 4(x + y) + 4] – [3xy(x +y) + 6xy] = 0
\( \Leftrightarrow \)[(x + y)2(x + y + 2) + (x + y + 2)2] – 3xy(x + y + 2) = 0
\( \Leftrightarrow \)(x + y + 2)[(x + y)2 + x + y + 2] – 3xy(x + y + 2) = 0
\( \Leftrightarrow \) (x + y + 2)[(x + y)2 + x + y + 2 – 3xy] = 0
\( \Leftrightarrow \) (x + y + 2)(x2 + 2xy + y2 + x + y + 2 – 3xy) = 0
\( \Leftrightarrow \) (x + y + 2)[(x2 – 2xy + y2) + (x2 + 2x + 1) + (y2 + 2y + 1) + 2] : 2 = 0
\( \Leftrightarrow \) (x + y + 2)[(x – y)2 + (x + 1)2 + (y + 1)2 + 2] = 0
\( \Leftrightarrow \) x + y + 2 = 0
\( \Leftrightarrow \) x + y = −2
Ta có: \(M = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{{x + y}}{{xy}} = \frac{{ - 2}}{{xy}}\)
Vì 4xy ≤ (x + y)2
\( \Leftrightarrow \) 4xy ≤ (−2)2
\( \Leftrightarrow \) 4xy ≤ 4
\( \Leftrightarrow \) xy ≤ 1
\( \Rightarrow \frac{1}{{xy}} \ge 1 \Leftrightarrow \frac{{ - 2}}{{xy}} \le - 2\) (do xy >0)
\( \Leftrightarrow \)M ≤ −2.
Dấu “=” xảy ra khi x = y = −1
Vậy Mmax = −2 khi x = y = −1.
Vậy Mmin = −2.