Cho x² + y² + xy = 1. Tìm GTNN, GTLN của: A = x² − xy + 2y²

Vì x² + y² + xy = 1 nên \(A = \frac{{{x^2} - xy + 2{y^2}}}{{{x^2} + {y^2} + xy}}\)

• Với y = 0 Þ A = 1

• Với y ≠ 0 ta chia cả tử và mẫu của vế phải cho y²

Suy ra \[A = \frac{{{{\left( {\frac{x}{y}} \right)}^2} - \frac{x}{y} + 2}}{{{{\left( {\frac{x}{y}} \right)}^2} + \frac{x}{y} + 1}}\]

Đặt \(\frac{x}{y} = a \Rightarrow A = \frac{{{a^2} - a + 2}}{{{a^2} + a + 1}}\)

Û A.a² + A.a + A = a² − a + 2

Û (A − 1).a² + (A + 1).a + A − 2 = 0

Ta có: ∆ = (A + 1)²− 4(A − 1)(A − 2) ≥0

Û −3A² + 14A − 7 ≥ 0

\( \Rightarrow \frac{{7 - 2\sqrt 7 }}{3} \le A \le \frac{{7 + 2\sqrt 7 }}{3}\)

Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}{A_{\max }} = \frac{{7 + 2\sqrt 7 }}{3}\\{A_{\min }} = \frac{{7 - 2\sqrt 7 }}{3}\end{array} \right.\).