Chọn A

Do $SB=SC=AB=AC=1$  nên các tam giác  $SBC$và ABC  là tam giác cân.

Gọi M   là trung điểm BC , khi đó ta có   $\left\{\begin{array}{l}BC\perp SM\\ BC\perp AM\end{array}\right.\Rightarrow BC\perp \left(SAM\right)\Rightarrow \left(ABC\right)\perp \left(SAM\right)$  .

Kẻ $SH\perp AM$ , khi đó $SH\perp \left(ABC\right)$ .

Ta có $AM=\sqrt{1-\frac{y^2}{4}}$$\Rightarrow S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\cdot AM\cdot BC=\frac{1}{2}\sqrt{1-\frac{y^2}{4}}\cdot y$    .

Gọi N   là trung điểm SA  . Tam giác SMA   cân tại M  nên MN  là đường cao và $MN=\sqrt{A{M}^2-A{N}^2}=\sqrt{1-\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{4}}$ .

Ta có $MN.SA=AH.AM$   nên  $AH=\frac{MN.SA}{AM}$$=\frac{x\sqrt{4-x^2-y^2}}{\sqrt{4-y^2}}$ .

Vậy $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}\cdot SH\cdot S_{\Delta ABC}=\frac{1}{3}\cdot \frac{x\sqrt{4-x^2-y^2}}{4-y^2}\cdot \frac{1}{2}\sqrt{1-\frac{y^2}{4}}\cdot y$

     $=\frac{1}{12}xy\sqrt{4-x^2-y^2}\le \frac{1}{12}\sqrt{{\left(\frac{x^2+y^2+4-x^2-y^2}{3}\right)}^3}=\frac{2\sqrt{3}}{27}$ .

Dấu “=” xảy ra khi $x=y=\frac{2}{\sqrt{3}}$  .