Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện xy + 2(yz + xz) = 5. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = 3(x² + y²) + 4z².

Có xy + 2(yz + xz) = 5 nên xy + 2yz + 2xz = 5

Có (x – y)² = x² – 2xy + y² ≥ 0, ∀x, y. Do đó x²  + y² ≥ 2xy, ∀x, y.

Suy ra \(\frac{1}{2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \ge xy\), ∀x, y (1).

Tương tự: y² + z² ≥ 2yz, ∀y, z (2)

và x² + z² ≥ 2xz, ∀x, z. (3)

Cộng từng vế của (1), (2), (3), ta được:

\(\frac{1}{2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + {y^2} + {z^2} + {x^2} + {z^2} \ge xy + 2yz + 2zx\), ∀x, y, z

\( \Leftrightarrow \frac{3}{2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 2{z^2} \ge xy + 2yz + 2zx\), ∀x, y, z

\( \Leftrightarrow \frac{3}{2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 2{z^2} \ge 5\), ∀x, y, z

\( \Leftrightarrow \)3(x² + y²) + 4z² ≥ 10, ∀x, y, z.

Dấu đẳng thức xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}x = y = z\\xy + 2\left( {yz + zx} \right) = 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y = z\\5{x^2} = 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y = z\\{x^2} = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \)x = y = z = 1 hoặc x = y = z = −1.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = 3(x² + y²) + 4z² là 10 khi x = y = z = 1 hoặc x = y = z = −1.