Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn x+y+ z = 1. Tìm GTLN của biểu thức:\(P = \sqrt {2{x^2} + x + 1} + \sqrt {2{y^2} + y + 1} + \sqrt {2{z^2} + z + 1} \).

Do x; y; z ≥ 0 và x+y+ z = 1 nên suy ra 0 ≤ x; y; z ≤ 1

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} \le x\\{y^2} \le y\\{z^2} \le z\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{x^2} + x + 1 \le {x^2} + 2x + 1\\2{y^2} + y + 1 \le {y^2} + 2y + 1\\2{z^2} + z + 1 \le {z^2} + 2z + 1\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow P = \sqrt {2{x^2} + x + 1} + \sqrt {2{y^2} + y + 1} + \sqrt {2{z^2} + z + 1} \)

\( \le \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {y + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {z + 1} \right)}^2}} \)

= x + y + z + 3 = 4

Vậy P_max = 4 khi (x; y; z) = (0; 0; 1) và các hoán vị.