Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = xyz. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + {y^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + {z^2}} }}\).

Ta có x + y + z = xyz.

\( \Leftrightarrow x = \frac{{x + y + z}}{{yz}}\).

\( \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{{x^2} + xy + xz}}{{yz}}\).

\( \Leftrightarrow {x^2} + 1 = \frac{{\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)}}{{yz}}\).

\( \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = \sqrt {\frac{{yz}}{{\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)}}} \).

Chứng minh tương tự, ta có \(\frac{1}{{\sqrt {{y^2} + 1} }} = \sqrt {\frac{{xz}}{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)}}} \); \(\frac{1}{{\sqrt {{z^2} + 1} }} = \sqrt {\frac{{xy}}{{\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)}}} \).

Cộng theo từng vế ba đẳng thức trên và áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được:

\(P = \frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + {y^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + {z^2}} }}\)

\( = \sqrt {\frac{{yz}}{{\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)}}} + \sqrt {\frac{{xz}}{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)}}} + \sqrt {\frac{{xy}}{{\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)}}} \)

\( \le \frac{1}{2}\left( {\frac{y}{{x + y}} + \frac{z}{{x + z}}} \right) + \frac{1}{2}\left( {\frac{x}{{x + y}} + \frac{z}{{y + z}}} \right) + \frac{1}{2}\left( {\frac{x}{{x + z}} + \frac{y}{{y + z}}} \right)\)

\( = \frac{1}{2}\left( {\frac{y}{{x + y}} + \frac{z}{{x + z}} + \frac{x}{{x + y}} + \frac{z}{{y + z}} + \frac{x}{{x + z}} + \frac{y}{{y + z}}} \right)\)

\( = \frac{3}{2}\).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow x = y = z = \sqrt 3 \).

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P bằng \(\frac{3}{2}\) khi và chỉ khi \(x = y = z = \sqrt 3 \).