Cho x, y, z > 0 và xyz = 1. CMR: \(\frac{{{x^2}}}{{\left( {1 + y} \right)}} + \frac{{{y^2}}}{{\left( {1 + z} \right)}} + \frac{{{z^2}}}{{\left( {1 + x} \right)}} \ge \frac{3}{2}\)?

Áp dụng BĐT cô-si:

\(\frac{{{x^2}}}{{1 + y}} + \frac{{{y^2}}}{{1 + z}} + \frac{{{z^2}}}{{1 + x}} \ge \frac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{1 + y + 1 + z + 1 + x}} = \frac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{\left( {x + y + z} \right) + 3}}\)

Áp dụng BĐT cô-si: \(x + y + z \ge 3\sqrt[3]{{xyz}} = 3\)

Do đó: \(\frac{{{x^2}}}{{1 + y}} + \frac{{{y^2}}}{{1 + z}} + \frac{{{z^2}}}{{1 + x}} \ge \frac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{\left( {x + y + z} \right) + 3}}\)

\( \ge \frac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{\left( {x + y + z} \right) + \left( {x + y + z} \right)}} = \frac{{x + y + z}}{2} \ge \frac{3}{2}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1.

Vậy \(\frac{{{x^2}}}{{\left( {1 + y} \right)}} + \frac{{{y^2}}}{{\left( {1 + z} \right)}} + \frac{{{z^2}}}{{\left( {1 + x} \right)}} \ge \frac{3}{2}\), dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1.