Cho x, y, z > 0. Chứng minh bất đẳng thức 1/x + 1/y + 1/z > = 9/(x + y + z)
Cho x, y, z > 0. Chứng minh bất đẳng thức \[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \ge \frac{9}{{x + y + z}}\].
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số x, y, z > 0, ta được: \[x + y + z \ge 3\sqrt[3]{{xyz}}\].
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số \(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z} > 0\), ta được:
\[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{1}{{xyz}}}} = \frac{3}{{\sqrt[3]{{xyz}}}}\].
Khi đó ta có \(\left( {x + y + z} \right)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) \ge 3\sqrt[3]{{xyz}}.\frac{3}{{\sqrt[3]{{xyz}}}} = 9\).
\( \Leftrightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \ge \frac{9}{{x + y + z}}\).
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z.
Vậy ta có điều phải chứng minh.