Cho x, y là hai số dương thoả mãn x + y = 2. Tìm GTNN của biểu thức

\(P = \frac{1}{{4{x^2} + 2}} + \frac{1}{{4{y^2} + 2}} + \frac{2}{{xy}}\).

\[P = \frac{1}{{4{x^2} + 2}} + \frac{1}{{4{y^2} + 2}} + \frac{2}{{xy}}\]

\[ = \frac{1}{{4{x^2} + 2}} + \frac{1}{{4{y^2} + 2}} + \frac{1}{{6xy}} + \frac{1}{{6xy}} + \frac{5}{{3xy}}\]

\( \ge \frac{{16}}{{4{x^2} + 4{y^2} + 12xy + 4}} + \frac{5}{{3xy}}\)

\( = \frac{{16}}{{4{{\left( {x + y} \right)}^2} + 4xy + 4}} + \frac{5}{{3xy}}\)

\( \ge = \frac{{16}}{{4{{\left( {x + y} \right)}^2} + {{\left( {x + y} \right)}^2} + 4}} + \frac{5}{{3\,.\,\frac{1}{4}{{\left( {x + y} \right)}^2}}} = \frac{7}{3}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1.

Vậy \({P_{\min }} = \frac{7}{3}\) khi x = y = 1.