Cho x, y là các số dương thỏa mãn 4xy = x + y + 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
Cho x, y là các số dương thỏa mãn 4xy = x + y + 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[x + y + \frac{1}{{x + y}}\]
Cho x, y là các số dương thỏa mãn 4xy = x + y + 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[x + y + \frac{1}{{x + y}}\]
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có (x + y)2 ≥ 4xy.
⇔ (x + y)2 ≥ x + y + 2
⇔ (x + y)2 – (x + y) – 2 ≥ 0
⇔ (x + y – 2)(x + y + 1) ≥ 0
y – 2 ≥ 0 (do x + y + 1 > 0, với mọi số dương x, y)
⇔ x + y ≥ 2
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
\[\frac{{x + y}}{4} + \frac{1}{{x + y}} \ge \sqrt[2]{{\frac{{x + y}}{4}.\frac{1}{{x + y}}}} = 2.\sqrt {\frac{1}{4}} = 1\]
Ta có: \[x + y + \frac{1}{{x + y}} = \frac{{3(x + y)}}{4} + \frac{{x + y}}{4} + \frac{1}{{x + y}} \ge \frac{{3.2}}{1} + 1 = \frac{5}{2}\]
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[x + y + \frac{1}{{x + y}}\]bằng \[\frac{5}{2}\]khi x = y = 1.