Cho \(\left( {x + \sqrt {2005 + {x^2}} } \right)\left( {y + \sqrt {2005 + {y^2}} } \right) = 2005\). Tính x²⁰⁰⁵ + y²⁰⁰⁵.

Ta có \(\left( {x + \sqrt {2005 + {x^2}} } \right)\left( {\sqrt {2005 + {x^2}} - x} \right) = 2005 + {x^2} - {x^2} = 2005\).

Theo đề, ta có \(\left( {x + \sqrt {2005 + {x^2}} } \right)\left( {y + \sqrt {2005 + {y^2}} } \right) = 2005\).

\( \Leftrightarrow \left( {x + \sqrt {2005 + {x^2}} } \right)\left( {y + \sqrt {2005 + {y^2}} } \right) = \left( {x + \sqrt {2005 + {x^2}} } \right)\left( {\sqrt {2005 + {x^2}} - x} \right)\).

\( \Leftrightarrow y + \sqrt {2005 + {y^2}} = \sqrt {2005 + {x^2}} - x\)    (1)

Chứng minh tương tự, ta được: \(x + \sqrt {2005 + {x^2}} = \sqrt {2005 + {y^2}} - y\)    (2)

Lấy (1) + (2) cộng vế theo vế, ta được:

\(x + \sqrt {2005 + {x^2}} + y + \sqrt {2005 + {y^2}} = \sqrt {2005 + {x^2}} - x + \sqrt {2005 + {y^2}} - y\).

⇔ x + y = –x – y.

⇔ 2(x + y) = 0.

⇔ x + y = 0.

Ta có x²⁰⁰⁵ + y²⁰⁰⁵ = (x + y)(x²⁰⁰⁴ – x²⁰⁰³.y + x²⁰⁰².y² – ... + x².y²⁰⁰² – x.y²⁰⁰³ + y²⁰⁰⁴).

= 0.(x²⁰⁰⁴ – x²⁰⁰³.y + x²⁰⁰².y² – ... + x².y²⁰⁰² – x.y²⁰⁰³ + y²⁰⁰⁴).

= 0.

Vậy x²⁰⁰⁵ + y²⁰⁰⁵ = 0.