Cho x > 0, y > 0 và x + y ≥ 6. Tìm GTNN của biểu thức:

\[P = 5x + 3y + \frac{{12}}{x} + \frac{{16}}{y}\].

\[P = 5x + 3y + \frac{{12}}{x} + \frac{{16}}{y}\]

\( = 3x + \frac{{12}}{x} + y + \frac{{16}}{y} + 2\left( {x + y} \right)\)

Áp dụng Cô-si, ta có:

\(3x + \frac{{12}}{x} \ge 2\sqrt {3x.\frac{{12}}{x}} = 2.6 = 12\)

\(y + \frac{{16}}{y} \ge 2\sqrt {y.\frac{{16}}{y}} = 8\)

Lại có 2(x + y) ≥ 12

Nên P ≥ 12 + 8 + 12 = 32

Dấu “=” xảy ra khi:

\(\left\{ \begin{array}{l}3x = \frac{{12}}{x}\\y = \frac{{16}}{y}\\x + y = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 4\end{array} \right.\).

Vậy P_min = 32 khi x = 2 và y = 4.