Cho tứ giác ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Qua điểm I thuộc đoạn thẳng OB, vẽ đường thẳng song song với đường chéo AC, cắt các cạnh AB, BC và các tia DA, DC theo thứ tự tại các điểm M, N, P, Q.
a) Chứng minh \(\frac{{IM}}{{OA}} = \frac{{IB}}{{OB}}\) và \(\frac{{IM}}{{IP}} = \frac{{IB}}{{ID}}.\frac{{OD}}{{OB}}\).
b) Chứng minh \(\frac{{IM}}{{IP}} = \frac{{IN}}{{IQ}}\).
a) Tam giác OAB có IM // OA nên áp dụng định lí Thales, ta được: \(\frac{{IM}}{{OA}} = \frac{{IB}}{{OB}}\) (1)
Tam giác DPI có OA // IP nên áp dụng định lí Thales, ta được \(\frac{{OA}}{{IP}} = \frac{{OD}}{{ID}}\) (2)
Từ (1), (2), suy ra \(\frac{{IM}}{{OA}}.\frac{{OA}}{{IP}} = \frac{{IB}}{{OB}}.\frac{{OD}}{{ID}}\).
\( \Leftrightarrow \frac{{IM}}{{IP}} = \frac{{IB}}{{ID}}.\frac{{OD}}{{OB}}\).
Vậy ta có điều phải chứng minh.
b) Tam giác OBC có IN // OC nên áp dụng định lí Thales, ta được \(\frac{{IN}}{{OC}} = \frac{{IB}}{{OB}}\) (3)
Tam giác DQI có OC // IQ nên áp dụng định lí Thales, ta được \(\frac{{OC}}{{IQ}} = \frac{{OD}}{{ID}}\) (4)
Từ (3), (4), suy ra \(\frac{{IN}}{{OC}}.\frac{{OC}}{{IQ}} = \frac{{IB}}{{OB}}.\frac{{OD}}{{ID}}\).
\( \Leftrightarrow \frac{{IN}}{{IQ}} = \frac{{IB}}{{ID}}.\frac{{OD}}{{OB}} = \frac{{IM}}{{IP}}\).
Vậy ta có điều phải chứng minh.