Cho tứ giác ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC

Bài 20* trang 66 SBT Toán 8 Tập 2: Cho tứ giác ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC. Chứng minh: $MN\le \frac{AB+DC}{2}$. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Trả lời

Lấy I là trung điểm của BD.

Xét ∆ABD có M, I lần lượt là trung điểm của AD, BD nên MI là đường trung bình của ∆ABD

Suy ra MI // AB và $MI=\frac{AB}{2}.$

Xét ∆BDC có N, I lần lượt là trung điểm của BC, BD nên NI là đường trung bình của ∆BDC

Suy ra NI // CD và $NI=\frac{CD}{2}.$

Do đó $MI+NI=\frac{AB+CD}{2}$ (1).

• Nếu I không thuộc MN thì MNI là tam giác nên ta có MN < MI + NI (bất đẳng thức tam giác).

• Nếu I thuộc MN ta có MN = MI + NI.

Tức là, ta luôn có MN ≤ MI + NI (2).

Từ (1), (2) suy ra $MN\le \frac{AB+CD}{2}.$

Dấu đẳng thức xảy ra khi I thuộc MN, khi đó AB // MI // CD.

Vậy dấu đẳng thức xảy ra khi AB // CD.

Xem thêm các bài giải SBT Toán 8 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 1: Định lí Thalès trong tam giác

Bài 2: Ứng dụng của định lí Thalès trong tam giác

Bài 3: Đường trung bình của tam giác

Bài 4: Tính chất đường phân giác của tam giác

Bài 5: Tam giác đồng dạng

Bài 6: Trường hợp đồng dạng thứ nhất của tam giác