Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA.
a) Tứ giác MNPQ là hình gì? Vì sao?
b) Để tứ giác MNPQ là hình vuông thì tứ giác ABCD cần có điều kiện gì?
c) Cho AC = 6 cm, BD = 8 cm. Hãy tính diện tích tứ giác MNPQ.
a) Ta có MN, NP, PQ, QM lần lượt là đường trung bình của các tam giác ABC, BCD, ACD, ABD.
Suy ra MN // AC; NP // BD; PQ // AC; QM // BD.
Mà AC ⊥ BD (giả thiết).
Do đó MN ⊥ NP; PQ ⊥ QM và MN ⊥ QM.
Suy ra \(\widehat {MNP} = \widehat {QMN} = \widehat {PQM} = 90^\circ \).
Vậy tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.
b) Ta có tứ giác MNPQ là hình chữ nhật (kết quả câu a).
Vì vậy để tứ giác MNPQ là hình vuông thì MN = NP.
Mà \(MN = \frac{{AC}}{2};NP = \frac{{BD}}{2}\).
Suy ra AC = BD.
Vậy tứ giác MNPQ là hình vuông thì tứ giác ABCD cần thêm điều kiện AC = BD.
c) Ta có \(MN = \frac{{AC}}{2} = \frac{6}{2} = 3\,\,\left( {cm} \right);NP = \frac{{BD}}{2} = \frac{8}{2} = 4\,\,\left( {cm} \right)\).
Diện tích hình chữ nhật MNPQ là: S = MN.NP = 3.4 = 12 (cm2).
Vậy diện tích tứ giác MNPQ bằng 12 cm2.