Cho tứ giác ABCD (AB không song song với CD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm
Cho tứ giác ABCD (AB không song song với CD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD biết \[MN = \frac{{BC + AD}}{2}\]. Chứng minh rằng: ABCD là hình thang.
Gọi I là trung điểm của BD.
Vì I, N lần lượt là trung điểm của BD, CD
⇒ IN là đường trung bình của ∆DBC.
\[ \Rightarrow IN = \frac{{BC}}{2}\] và IN // BC.
Vì I, M lần lượt là trung điểm của BD, AB
⇒ IM là đường trung bình của ∆ABD.
\[ \Rightarrow IM = \frac{{AD}}{2}\]và IM // AD.
Vì \[MN = \frac{{BC + AD}}{2}\] nên MN = MI + IN
⇒ M, I, N thẳng hàng.
Mà IN // BC, IM // AD
Do đó, BC // AD ⇒ ABCD là hình thang.