Cho tứ diện gần đều ABCD, biết AB = CD = 5, AD = BC = căn bậc hai 41. Tính sin góc
Cho tứ diện gần đều ABCD, biết AB = CD = 5, \(AD = BC = \sqrt {41} \). Tính sin góc giữa hai đường thẳng: B và CD.
Gọi I, J, K, P lần lượt là trung điểm của AD, AC, BC, BD
Khi đó, AB // IP // JK, CD // IJ // KP
\( \Rightarrow \left( {\widehat {AB;\;CD}} \right) = \left( {\widehat {IP;\;KP}} \right)\)
Ta có: \(KP = \frac{1}{2}CD = \frac{5}{2};\;IP = \frac{1}{2}AB = \frac{5}{2}\)
\(A{K^2} = \frac{{A{B^2} + A{C^2}}}{2} - \frac{{B{C^2}}}{4} = \frac{{25 + 34}}{2} - \frac{{41}}{4} = \frac{{77}}{4} = D{K^2}\)
Tam giác AKD cân tại K có KI là trung tuyến
Þ KI ^ AD \( \Rightarrow I{K^2} = A{K^2} - A{I^2} = \frac{{77}}{4} - \frac{{41}}{4} = 9\)
\(\cos \widehat {IPK} = \frac{{I{P^2} + K{P^2} - I{K^2}}}{{2IP\,.\,KP}} = \frac{{\frac{{25}}{4} + \frac{{25}}{4} - 9}}{{2\,.\,\frac{5}{2}\,.\,\frac{5}{2}}} = \frac{7}{{25}} > 0\)
\( \Rightarrow \widehat {IPK} < 90^\circ \)
\( \Rightarrow \left( {\widehat {AB;\;CD}} \right) = \left( {\widehat {IP;\;KP}} \right) = \widehat {IPK}\)
\( \Rightarrow \sin \left( {\widehat {AB;\;CD}} \right) = \sin \widehat {IPK} = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{7}{{25}}} \right)}^2}} = \frac{{24}}{{25}}\)