Chọn B

Đặt $BC=x;AD=y\left(x,y>0\right).$

Gọi  lần lượt là trung điểm  và

$\Delta ABC$ cân tại A   và $\Delta DBC$  cân tại 

$D\Rightarrow AH\perp BC,DH\perp BC\Rightarrow BC\perp \left(AHD\right)\Rightarrow BC\perp HK.$

Mặt khác, $AH=DH\Rightarrow \Delta HAD$   cân tại $H\Rightarrow AD\perp HK.$

Suy ra, $d\left(BC,AD\right)=HK.$

Ta có: $AH=\sqrt{A{B}^2-B{H}^2}=\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}=\frac{\sqrt{4-x^2}}{2}\Rightarrow HK=\sqrt{A{H}^2-A{K}^2}=\frac{\sqrt{4-x^2-y^2}}{2}.$

$V_{ABCD}=\frac{1}{3}BC.S_{AHD}=\frac{1}{3}.BC.\frac{1}{2}.HK.AD=\frac{1}{12}xy\sqrt{4-x^2-y^2}$

Áp dụng bất đắng thức Cauchy ta có: 

$V_{ABCD}=\frac{1}{12}xy\sqrt{4-x^2-y^2}=\frac{1}{12}\sqrt{x^2{y}^2\left(4-x^2-y^2\right)}\le \frac{1}{12}\sqrt{{\left(\frac{x^2+y^2+4-x^2-y^2}{3}\right)}^3}=\frac{2\sqrt{3}}{27}.$

Dấu  xảy ra $\iff x^2=y^2=4-x^2-y^2\iff x=y=\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

Do đó: $V_{\max }=\frac{2\sqrt{3}}{27}\iff x=y=\frac{2}{\sqrt{3}}.$

Khi đó: $HK=\frac{1}{\sqrt{3}}.$