Cho tứ diện ABCD có góc DAB = góc CBD = 90 độ; AC = a căn 5; góc ABC = 135 độ

27 26/11/2024

Cho tứ diện ABCD có

\hat{D A B} = \hat{C B D} = 90 °; A B = a; A C = a \sqrt{5}; \hat{A B C} = 135 ° .

Biết góc giữa hai mặt phẳng (ABD), (BCD) bằng 30°. Thể tích của tứ diện ABCD bằng

A. $\frac{a^{3}}{2 \sqrt{3}} .$

B. $\frac{a^{3}}{\sqrt{2}} .$

C. $\frac{a^{3}}{3 \sqrt{2}} .$

D. $\frac{a^{3}}{6} .$

Trả lời

Dựng

D H ⊥ (A B C) .

Ta co

\{\begin{array}{l} B A ⊥ D A \\ B A ⊥ D H \end{array} \Rightarrow B A ⊥ (D A H) \Rightarrow B A ⊥ A H .

Tương tự

\{\begin{array}{l} B C ⊥ D B \\ B C ⊥ D H \end{array} \Rightarrow B C ⊥ D B H \Rightarrow B C ⊥ B H .

Tam giác AHB có

A B = a, \hat{A B H} = 45 °

\Rightarrow Δ H A B

vuông cân tại

A \Rightarrow A H = A B = a .

Áp dụng định lý cosin, ta có

B C = a \sqrt{2} .

Vậy

S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} . B A . B C . \sin \hat{C B A} = \frac{1}{2} . a . a \sqrt{2} . \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{a^{2}}{2} .

Dựng

\{\begin{array}{l} H E ⊥ D A \\ H F ⊥ D B \end{array} \Rightarrow H E ⊥ (D A B)

và

H F ⊥ (D B C) .

Suy ra

((\hat{D B A), (D B C)}) = \hat{(H E, H F)} = \hat{E H F}

và tam giác HEF vuông tại E.
Đặt

D H = x,

khi đó

H E = \frac{a x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}}, H F = \frac{x a \sqrt{2}}{\sqrt{2 a^{2} + x^{2}}} .

Suy ra

\cos \hat{E H F} = \frac{H E}{H F} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{x^{2} + 2 a^{2}}}{\sqrt{2 x^{2} + 2 a^{2}}} \Rightarrow x = a .

Vậy

V_{A B C D} = \frac{1}{3} . D H . S_{Δ A B C} = \frac{a^{3}}{6} .

Chọn D

Đề thi Đánh giá tư duy tốc chiến Đại học Bách khoa năm 2023-2024 có đáp án (Đề 3)

Câu hỏi cùng chủ đề

Nhân viên của một quán cafe cần làm 7 li sinh tố bơ. Biết li thủy tinh đựng sinh tố có dạng hình trụ

Đề thi Đánh giá tư duy tốc chiến Đại học Bách khoa năm 2023-2024 có đáp án (Đề 3)

30 3 tháng trước

Cho 2 bình: bình 1 dựng 6 viên bi xanh và 4 viên bi vàng; bình 2 đựng 3

Đề thi Đánh giá tư duy tốc chiến Đại học Bách khoa năm 2023-2024 có đáp án (Đề 3)

20 3 tháng trước

Theo thống kê tại một nhà máy Z, nếu áp dụng tuần làm việc 40 giờ

Đề thi Đánh giá tư duy tốc chiến Đại học Bách khoa năm 2023-2024 có đáp án (Đề 3)

35 3 tháng trước

Tam giác mà ba đỉnh của nó là trung điểm ba cạnh của tam giác ABC được gọi là tam giác

Đề thi Đánh giá tư duy tốc chiến Đại học Bách khoa năm 2023-2024 có đáp án (Đề 3)

32 3 tháng trước

Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a; b; c. Gọi p là nửa chu vi của tam giác

Đề thi Đánh giá tư duy tốc chiến Đại học Bách khoa năm 2023-2024 có đáp án (Đề 3)

36 3 tháng trước

Cho cấp số nhân (un) với u2 = 2 và u4 = 18. Công bội của cấp số nhân đã cho bằng

Đề thi Đánh giá tư duy tốc chiến Đại học Bách khoa năm 2023-2024 có đáp án (Đề 3)

24 3 tháng trước

Một công ty nhận được 50 hồ sơ xin việc của 50 người khác nhau muốn xin

Đề thi Đánh giá tư duy tốc chiến Đại học Bách khoa năm 2023-2024 có đáp án (Đề 3)

28 3 tháng trước

Có 5 nhà Toán học nam, 3 nhà Toán học nữ và 4 nhà Vật lý học nam

Đề thi Đánh giá tư duy tốc chiến Đại học Bách khoa năm 2023-2024 có đáp án (Đề 3)

24 3 tháng trước

Phương trình -2cos ^2 x -5sinx +4 = 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn

Đề thi Đánh giá tư duy tốc chiến Đại học Bách khoa năm 2023-2024 có đáp án (Đề 3)

25 3 tháng trước

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, biết AB = 2a, AD = a, SA = 3a

Đề thi Đánh giá tư duy tốc chiến Đại học Bách khoa năm 2023-2024 có đáp án (Đề 3)

26 3 tháng trước

Xem tất cả

Cho tứ diện ABCD có góc DAB = góc CBD = 90 độ; AC = a căn 5; góc ABC = 135 độ

Trả lời

Câu hỏi cùng chủ đề

Nhân viên của một quán cafe cần làm 7 li sinh tố bơ. Biết li thủy tinh đựng sinh tố có dạng hình trụ

Cho 2 bình: bình 1 dựng 6 viên bi xanh và 4 viên bi vàng; bình 2 đựng 3

Theo thống kê tại một nhà máy Z, nếu áp dụng tuần làm việc 40 giờ

Tam giác mà ba đỉnh của nó là trung điểm ba cạnh của tam giác ABC được gọi là tam giác

Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a; b; c. Gọi p là nửa chu vi của tam giác

Cho cấp số nhân (un) với u2 = 2 và u4 = 18. Công bội của cấp số nhân đã cho bằng

Một công ty nhận được 50 hồ sơ xin việc của 50 người khác nhau muốn xin

Có 5 nhà Toán học nam, 3 nhà Toán học nữ và 4 nhà Vật lý học nam

Phương trình -2cos ^2 x -5sinx +4 = 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, biết AB = 2a, AD = a, SA = 3a

Danh mục