Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Lấy điểm M thuộc cạnh huyền BC
280
01/11/2023
Bài 25 trang 97 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Lấy điểm M thuộc cạnh huyền BC. Gọi D,E lần lượt là hình chiếu của điểm M trên đường thẳng AB,AC.
a) Tứ giác ADME là hình gì? Vì sao?
b) Gọi I là trung điểm của DE. Chứng minh ba điểm A,I,M thẳng hàng
c) Chứng minh khi điểm M thay đổi vị trí trên cạnh BC thì chu vi của tứ giác ADME không đổi.
Trả lời

a) Tứ giác ADME có ^DAE=^AEM=^MDA=90∘ nên ADME là hình chữ nhật.
b) Do ADME là hình chữ nhật nên hai đường chéo DE và AM cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Mà I là trung điểm của DE, suy ra I là trung điểm của AM. Vậy ba điểm A<I,M thẳng hàng.
c) Do ADME là hình chữ nhật nên DM//AC. Suy ra ^BMD=^ACB (hai góc so le trong). Mà ^ABC=^ACB=45∘ (vì tam giác ABC vuông cân tại A, suy ra ^BMD=^ABC=45∘. Do đó, tam giác BDM cân tại D. Suy ra BD=DM.
Chu vi hình chữ nhật ADME là: 2(AD+DM)=2(AD+BD)=DM
Mà AB không đổi nên chu vi của tứ giác ADME không đổi.
d)

Do ADME là hình chữ nhật nên AM=DE
Suy ra DE có độ dài nhỏ nhất khi AM có độ dài nhỏ nhất. vậy M là hình chiếu của A trên đường thẳng BC.
Trong tam giác ABC vuông cân tại A ta có
AC=AB=2cm và BC2=AB2+AC2=8
Suy ra BC=√8cm
ΔABM=ΔACM (cạnh góc vuông – góc nhọn). Suy ra BM=CM=BC2=√2cm
Tam giác ABM vuông tại M có ^ABM=45∘ nên ^BAM=^ABM=45∘. Suy ra tam giác ABM vuông cân tại M. Do đó AM=BM=√2cm. Vậy DE=√2cm.
Xem thêm các bài giải SBT Toán 8 Cánh diều hay, chi tiết khác:
Bài 3: Hình thang cân
Bài 4: Hình bình hành
Bài 5: Hình chữ nhật
Bài 6: Hình thoi
Bài 7: Hình vuông
Bài tập cuối chương 5 trang 103