a) Vì D là điểm đối xứng với H qua AB nên AB là đường trung trực của DH suy ra AH = AD (1)
Vì E đối xứng với H qua AC nên AC là đường trung trực của HE suy ra AH = AE (2)
Từ (1) và (2) suy ra AD = AE (3)
Mặt khác \(\widehat {DAB} = \widehat {BAH}\); \(\widehat {HAC} = \widehat {CAE}\)
Và \(\widehat {BAH} + \widehat {HAC} = 90^\circ \)
Do đó \(\widehat {DAB} + \widehat {BAH} + \widehat {HAC} + \widehat {CAE} = 180^\circ \)
Tức là D, A, E thẳng hành (4)
Từ (3) và (4) suy ra D và E đối xứng với nhau qua A.
b) ∆DHE có HA là trung điểm và \(HA = \frac{1}{2}DE\) nên ∆DHE vuông tại H.
c) Xét ∆ADB và ∆AHB có:
AD = AH
AB chung
DB = BH (D đối xứng với H qua AB)
Do đó ∆ADB = ∆AHB (c.c.c)
Suy ra \(\widehat {ADB} = \widehat {AHB} = 90^\circ \)
Tương tự ta có: ∆AHC = ∆AEC
Do đó \(\widehat {AEC} = \widehat {AHC} = 90^\circ \)
Suy ra BD // CE (cùng vuông góc với DE)
Nên tứ giác BAEC là hình thang có hai góc vuông kề cạnh bên DE nên BAEC là hình thang vuông.