Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ H xuống AB và AC. Chứng minh rằng:

a) AM . AB = AH² và AM . AB = AN . AC.

b) ∆AMN ᔕ ∆ACB.

Lời giải

a) Tam giác AMH vuông ở M và tam giác AHB vuông ở H có:

$\widehat {HAB}$ chung

Do đó, ∆AMH ᔕ ∆AHB (góc nhọn).

Suy ra $\frac{{AM}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AB}}$ nên AM . AB = AH² (1).

Tam giác ANH vuông ở N và tam giác AHC vuông ở H có:

$\widehat {HAC}$ chung

Do đó, ∆ANH ᔕ ∆AHC (góc nhọn).

Suy ra $\frac{{AN}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AC}}$ nên AN . AC = AH² (2).

Từ (1) và (2) ta có: AM . AB = AN . AC.

b) Theo phần a ta có: AM . AB = AN . AC nên $\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{AB}}$.

Tam giác AMN và tam giác ACB có:

$\widehat {BAC}$ chung

$\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{AB}}$

Do đó, ∆AMN ᔕ ∆ACB (c.g.c).