Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ H xuống AB và AC. Chứng minh rằng:

a) AM . AB = AH² và AM . AB = AN . AC.

b) ∆AMN ᔕ ∆ACB.

Lời giải

a) Tam giác AMH vuông ở M và tam giác AHB vuông ở H có:

\(\widehat {HAB}\) chung

Do đó, ∆AMH ᔕ ∆AHB (góc nhọn).

Suy ra \(\frac{{AM}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AB}}\) nên AM . AB = AH² (1).

Tam giác ANH vuông ở N và tam giác AHC vuông ở H có:

\(\widehat {HAC}\) chung

Do đó, ∆ANH ᔕ ∆AHC (góc nhọn).

Suy ra \(\frac{{AN}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AC}}\) nên AN . AC = AH² (2).

Từ (1) và (2) ta có: AM . AB = AN . AC.

b) Theo phần a ta có: AM . AB = AN . AC nên \(\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{AB}}\).

Tam giác AMN và tam giác ACB có:

\(\widehat {BAC}\) chung

\(\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{AB}}\)

Do đó, ∆AMN ᔕ ∆ACB (c.g.c).