Cho hình vuông ABCD và M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Gọi O là giao điểm của CM và DN. a) Chứng minh rằng CM ⊥ DN. b) Biết AB = 4 cm, hãy tính diện tích tam giác ONC.
29
29/10/2024
Cho hình vuông ABCD và M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Gọi O là giao điểm của CM và DN.
a) Chứng minh rằng CM ⊥ DN.
b) Biết AB = 4 cm, hãy tính diện tích tam giác ONC.
Trả lời
Lời giải

a) Vì ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA;
và ^DAB=^ABC=^BCD=^CDA=90∘.
Vì M là trung điểm của AB nên AM = MB = 12AB.
Vì N là trung điểm của BC nên NB = NC = 12BC.
Mà AB = BC nên AM = MB = NB = NC.
Xét tam giác CBM vuông ở B và tam giác DCN vuông ở C có:
MB = NC (cmt)
BC = CD (cmt)
Do đó, tam giác CBM và tam giác DCN bằng nhau (hai cạnh góc vuông).
Suy ra ^BMC=^DNC.
Mà ^BMC+^MCB=90∘ nên ^DNC+^MCB=90∘.
Tam giác CON có:
^ONC+^OCN=90∘ (do ^DNC+^MCB=90∘).
Nên ^NOC=90∘.
Do đó, CM vuông góc với DN tại O.
b) Ta có BC = CD = DA = AB = 4 cm; NC = 12BC = 12CD = 2 cm hay CD = 2NC.
Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác CND vuông tại C ta có:
ND2 = NC2 + CD2 = NC2 + (2NC)2 = 5NC2.
Do đó, NC2ND2=15. Suy ra NCND=1√5.
Xét tam giác NOC vuông tại O và tam giác CND vuông tại C có:
^ONC chung
Do đó, ∆ONC ᔕ ∆CND (góc nhọn).
Suy ra ONCN=OCCD=NCND=1√5. Do đó, OC = 1√5CD; ON = 1√5CN.
Vậy diện tích tam giác ONC là:
S=12OC⋅ON=12.1√5CD⋅1√5CN=110⋅4⋅2=0,8 (cm2).