Cho hình vuông ABCD và M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Gọi O là giao điểm của CM và DN.

a) Chứng minh rằng CM ⊥ DN.

b) Biết AB = 4 cm, hãy tính diện tích tam giác ONC.

Lời giải

a) Vì ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA;

và \(\widehat {DAB} = \widehat {ABC} = \widehat {BCD} = \widehat {CDA} = 90^\circ \).

Vì M là trung điểm của AB nên AM = MB = \(\frac{1}{2}\)AB.

Vì N là trung điểm của BC nên NB = NC = \(\frac{1}{2}\)BC.

Mà AB = BC nên AM = MB = NB = NC.

Xét tam giác CBM vuông ở B và tam giác DCN vuông ở C có:

MB = NC (cmt)

BC = CD (cmt)

Do đó, tam giác CBM và tam giác DCN bằng nhau (hai cạnh góc vuông).

Suy ra \(\widehat {BMC} = \widehat {DNC}\).

Mà \(\widehat {BMC} + \widehat {MCB} = 90^\circ \) nên \(\widehat {DNC} + \widehat {MCB} = 90^\circ \).

Tam giác CON có:

\(\widehat {ONC} + \widehat {OCN} = 90^\circ \) (do \(\widehat {DNC} + \widehat {MCB} = 90^\circ \)).

Nên \(\widehat {NOC} = 90^\circ \).

Do đó, CM vuông góc với DN tại O.

b) Ta có BC = CD = DA = AB = 4 cm; NC = \(\frac{1}{2}\)BC = \(\frac{1}{2}\)CD = 2 cm hay CD = 2NC.

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác CND vuông tại C ta có:

ND² = NC² + CD² = NC² + (2NC)² = 5NC².

Do đó, \(\frac{{N{C^2}}}{{N{D^2}}} = \frac{1}{5}\). Suy ra \(\frac{{NC}}{{ND}} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\).

Xét tam giác NOC vuông tại O và tam giác CND vuông tại C có:

\(\widehat {ONC}\) chung

Do đó, ∆ONC ᔕ ∆CND (góc nhọn).

Suy ra \(\frac{{ON}}{{CN}} = \frac{{OC}}{{CD}} = \frac{{NC}}{{ND}} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\). Do đó, OC = \(\frac{1}{{\sqrt 5 }}\)CD; ON = \(\frac{1}{{\sqrt 5 }}\)CN.

Vậy diện tích tam giác ONC là: