a) Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta EAD\) có:
AB = AE
\(\widehat {BAD} = \widehat {EAD}\) (do AD là tia phân giác của góc BAC)
AD là cạnh chung
Do đó \(\Delta ABD = \Delta AED\left( {c.g.c} \right)\)
Suy ra \(\widehat {ABD} = \widehat {AED}\) (2 góc tương ứng)
b) Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta AEF\) có:
\(\widehat {FAC}\) là góc chung
AB = AE
\(\widehat {ABC} = \widehat {AEF}\) (do \(\widehat {ABD} = \widehat {AED}\))
Do đó \(\Delta ABC = \Delta AEF\left( {g.c.g} \right)\)
Suy ra AC = AF (hai cạnh tương ứng)
c) Xét \(\Delta AHF\) và \(\Delta AHC\) có:
AH là cạnh chung
\(\widehat {FAH} = \widehat {CAH}\) (do AD là tia phân giác của góc BAC)
AF = AC (cmt)
Do đó \(\Delta AHF = \Delta AHC\left( {c.g.c} \right)\)
Suy ra HF = HC (hai cạnh tương ứng)
Khi đó H là trung điểm của FC nên DH là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh D của \(\Delta DFC.\)
Xét \(\Delta DFC\) có CG và DH là hai đường trung tuyến, CG và DH cắt nhau tại I
Suy ra I là trọng tâm của tam giác DFC.
Do đó \(IH = \frac{1}{2}ID\) (tính chất trọng tâm của tam giác)
Hay DI = 2IH.
Vậy DI = 2IH.