Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = AC. Trên các cạnh AB, AC lấy tương ứng hai điểm D, E sao cho AD = AE. Từ A và D kẻ đường vuông góc với BE và cắt BC tại M, N. Tia ND cắt tia CA ở I. Chứng minh MC = MN.
Ta có: AM // IN (vì cùng vuông góc với BE)
Gọi K là giao điểm của DN và BE
Xét ΔBDK vuông tại K có: \[\widehat {BDK} + \widehat {DBK} = 90^\circ \]
Xét ΔABE vuông tại A có: \[\widehat {ABE} + \widehat {BEA} = 90^\circ \]
Suy ra \[\widehat {BDK} = \widehat {BEA}\]
Mà \[\widehat {BDK} = \widehat {IDA}\] (vì hai góc đối đỉnh)
Suy ra \[\widehat {BEA} = \widehat {IDA}\]
Xét ΔDAI và ΔEAB có:
AD = AE
\[\widehat {IDA} = \widehat {BEA}\]
\[\widehat {IAD} = \widehat {BAE}\, = 90^\circ \]
Suy ra ΔDAI = ΔEAB (cạnh góc vuông – góc nhọn)
Do đó AI = AB
Mà AB = AC nên AI = AC
Xét ΔINC có:
AI = AC
AM // IN
Suy ra MN = MC (hệ quả của tính chất đường trung bình trong tam giác)
Vậy MN = MC