Cho tam giác ABC vuông ở B, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = AB

Đề bài: Cho tam giác ABC vuông ở B, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Tia phân giác của góc A cắt BC tại D.

a, Chứng minh $\Delta ADB=\Delta ADE$

b, Chứng minh $DE\perp AC$

c, Một đường thẳng qua C và vuông góc với AD cắt đường thẳng AB ở F. Chứng minh BF = CE

Trả lời

Hướng dẫn giải:

a) Xét $\Delta ADB$ và $\Delta ADE$ có:

AD chung

$\widehat{BAD}=\widehat{EAD}$ (AD là tia phân giác của $\widehat{BAC}$ )

AB = AE (gt)

$\Rightarrow \Delta ADB=\Delta ADE\left(c-g-c\right)$

b) Do $\Delta ADB=\Delta ADE\left(c-g-c\right)$

$\Rightarrow \widehat{ABD}=\widehat{AED}$ (hai góc tương ứng)

$\Rightarrow \widehat{AED}={90}^0$

Hay DE vuông góc AC

c) Gọi G là giao điểm của CF và AD

Do $\widehat{BAD}=\widehat{EAD}$  (cmt)

$\Rightarrow \widehat{FAG}=\widehat{CAG}$

Xét hai tam giác vuông: $\Delta AGF$ và $\Delta AGC$ có:

AG chung

$\widehat{FAG}=\widehat{CAG}$ (cmt)

$\Rightarrow \Delta AGF=\Delta AGC$ (cạnh góc vuông - góc nhọn kề)

$\Rightarrow AF=AC$ (hai cạnh tương ứng)

Mà $AF=AB+BF$

$$\begin{gathered} AC=AE+EC \\ AB=AE \\ \Rightarrow BF=CE \end{gathered}$$