Cho tam giác ABC vuông ở A. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác BAD vuông cân ở B, ACF vuông cân ở C
265
20/12/2023
Bài 5 trang 60 SBT Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông ở A. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác BAD vuông cân ở B, ACF vuông cân ở C. Gọi H là giao điểm của AB và DC, K là giao điểm của AC và BF (Hình 9). Chứng minh:
a) AH = AK;
b) AH2 = AK2 = HB.KC.

Trả lời
a) Đặt AB = c, AC = b.
Xét ∆BDH với BD // AC (cùng vuông góc với AB), ta có:
AHHB=ACBD (hệ quả của định lí Thalès)
Mà BD = AB (do ∆ABD vuông cân tại B) nên AHHB=ACBD=ACAB=bc
Suy ra AHAH+HB=bb+c hay AHAB=bb+c.
Do đó AH=bcb+c (1)
Tương tự, ∆ABK với AB // CF (cùng vuông góc với AC) và CF = AC (do ∆ACF vuông cân tại C), theo hệ quả của định lí Thalès ta có: AKKC=ABCF=ABAC=cb.
Suy ra AKKC+AK=cb+c
Hay AKAC=cb+c.
Do đó AK=bcb+c (2).
Từ (1) và (2) suy ra: AH = AK.
b) Từ AHHB=ACBD=bc và AKKC=ABCF=cb (câu a), ta có AHHB=KCAK
Mà AK = AH nên AHHB=KCAH
Do đó, AH2 = AK2 = HB.KC.
Xem thêm các bài giải SBT Toán 8 Cánh diều hay, chi tiết khác:
Bài 2: Ứng dụng của phương trình bậc nhất một ẩn
Bài tập cuối chương 7
Bài 1: Định lí Thalès trong tam giác
Bài 2: Ứng dụng của định lí Thalès trong tam giác
Bài 3: Đường trung bình của tam giác
Bài 4: Tính chất đường phân giác của tam giác