Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Kẻ HD vuông góc với AB và HE vuông góc với AC (D trên AB, E trên AC). Gọi O là giao điểm của AH và DE. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của BH và HC. Chứng minh tứ giác DEQP là hình thang vuông.
HD ⊥ AB và AC ⊥ AB
Þ HD // AC
\[ \Rightarrow \widehat {PHD} = \widehat {HCA}\](đồng vị)
ΔDBH vuông tại D có DP là trung tuyến ứng với cạnh huyền
⇒ DP = PH ⇒ ΔDPH cân tại P
\[ \Rightarrow \widehat {PHD} = \widehat {PDH}\]
ADHE là hình chữ nhật
\[ \Rightarrow \widehat {ADE} = \widehat {AHE}\]
Mà \[\widehat {HCA} = \widehat {AHE}\](cùng phụ với \[\widehat {AHE}\])
\[ \Rightarrow \widehat {ADE} = \widehat {HCA} = \widehat {PHD} = \widehat {PDH}\]
Ta có: \[\widehat {ADE} + \widehat {EDH} = 90^\circ \]
\[\widehat {PHD} + \widehat {EDH} = 90^\circ \]
\[ \Rightarrow \widehat {PDE} = 90^\circ \]
⇒ DP ⊥ DE
Chứng minh tương tự ta có EQ ⊥ DE
⇒ Tứ giác DEQP là hình thang vuông tại D và E (đpcm)
Vậy tứ giác DEQP là hình thang vuông tại D và E.