Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên các cạnh góc vuông AB, AC lấy D và E sao cho AD = AE. Qua D vẽ đường thẳng vuông góc với BE cắt BC ở K. Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với BE cắt BC ở H. Gọi M là giao điểm của DK và AC. Chứng minh rằng:
a) ∆BAE = ∆CAD;
b) ∆MDC cân;
c) HK = HC.
a) Xét ∆BAE và ∆CAD, có:
AB = AC (tam giác ABC vuông cân tại A);
AE = AD (giả thiết);
\(\widehat {BAC}\) là góc chung.
Vậy ∆BAE = ∆CAD (c.g.c).
b) Ta có \(\widehat {BDK} = \widehat {ADM}\) (đối đỉnh).
Suy ra \(\widehat {DBE} = \widehat {AMD}\) (cùng phụ với \(\widehat {BDK} = \widehat {ADM}\)).
Mà \(\widehat {DBE} = \widehat {ACD}\) (do ∆BAE = ∆CAD).
Do đó \(\widehat {AMD} = \widehat {ACD}\).
Vậy tam giác MCD cân tại D.
c) Tam giác MCD cân tại D có DA là đường cao.
Suy ra DA cũng là đường trung tuyến của tam giác MCD.
Do đó A là trung điểm của CM.
Mà AH // MK (cùng vuông góc với BE).
Vì vậy AH là đường trung bình của tam giác MCK.
Suy ra H là trung điểm của KC.
Vậy HK = HC.