Bài 17 trang 95 SBT Toán 11 Tập 2: Cho tam giác ABC và các điểm M, N, P đôi một phân biệt thoả mãn MA = MB = MC, NA = NB = NC, PA = PB = PC. Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng.
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC.
Khi đó OA = OB = OC.
⦁ Trường hợp 1: Ba điểm M, N, P đều không thuộc mặt phẳng (ABC).
Xét hình chóp M.ABC có MA = MB = MC nên theo kết quả của Bài 16, trang 95, Sách bài tập Toán 11, Tập hai ta có: MO ⊥ (ABC)
Tương tự, từ NA = NB = NC, PA = PB = PC ta cũng có NO ⊥ (ABC), PO ⊥ (ABC).
Ta thấy: MO, NO, PO cùng đi qua điểm O và vuông góc với mặt phẳng (ABC).
Do đó ba đường thẳng MO, NO, PO trùng nhau hay M, N, P thẳng hàng.
⦁ Trường hợp 2: Trong ba điểm M, N, P có một điểm nằm trên (ABC).
Mà MA = MB = MC, NA = NB = NC, PA = PB = PC nên không mất tính tổng quát ta giả sử điểm M nằm trên (ABC).
Ta có MA = MB = MC, OA = OB = OC và M, O cùng nằm trong mp (ABC)
Suy ra: M ≡ O.
Tương tự trường hợp 1, từ NA = NB = NC, PA = PB = PC nên cũng ta có:
NO ⊥ (ABC), PO ⊥ (ABC).
Ta thấy: NO, PO cùng đi qua điểm O và vuông góc với mặt phẳng (ABC).
Do đó hai đường thẳng NO, PO trùng nhau hay O, N, P thẳng hàng hay M, N, P thẳng hàng.
Vậy M, N, P thẳng hàng.
Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác: