Gọi E là trung điểm của AG
Þ \[EA = EG = \frac{1}{2}AG\]
Từ E và M kẻ 2 đường thẳng song song với AA’ và cắt đường thẳng d lần lượt tại K và H.
Mà AA’ ^ d Þ EK ^ d và MH ^ d
G là trọng tâm ΔABC, AM là trung tuyến
\[MG = \frac{1}{2}AG\] (tính chất trọng tâm trong tam giác)
Xét ΔEKG và ΔMHG có:
\[\widehat {EKG} = \widehat {MHG} = 90^\circ \]
\[\widehat {EGK} = \widehat {MGH}\] (vì hai góc đối đỉnh)
\[EG = MG = \frac{1}{2}AG\]
Þ ΔEKG = ΔMHG (cạnh huyền – góc nhọn)
Þ EK = MH
Xét ΔAA'G:
E là trung điểm AG;
EK // AA'
Þ K là trung điểm A'G (tính chất đường trung bình trong tam giác)
Hay EK là đường trung bình của ΔAA'G nên \[EK = \frac{1}{2}AA'\]
\[ \Rightarrow MH = EK = \frac{1}{2}AA'\,\,\,(1)\]
Xét hình thang BB'C'C:
M là trung điểm BC
MH // BB' // CC'
Þ MH là đường trung bình hình thang BB'C'C
\[ \Rightarrow MH = \frac{1}{2}(BB' + CC')\,\,\,(2)\]
Từ (1) và (2) ta có: AA' = BB' + CC' (đpcm)
Vậy AA' = BB' + CC'.