Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy D sao cho AD = AC. Trên tia đối của AC lấy E sao cho AE = AB. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BE và CD. Chứng minh M; A; N thẳng hàng.
Xét ΔABC và ΔADE có:
AB = AD (gt)
\[\widehat {BAC} = \widehat {DAE}\] (2 góc đối đỉnh)
AC = AE (gt)
Do đó: ΔABC = ΔADE (c.g.c)
\[ \Rightarrow \widehat C = \widehat E\]
Xét ΔMAC và ΔNAE có:
AC = AE (gt)
\[\widehat C = \widehat E\]
CM = EN
Þ ΔMAC = ΔNAE (c.g.c)
\[ \Rightarrow \widehat {MAC} = \widehat {NAE}\]
\[ \Rightarrow \widehat {MAC} + \widehat {CAD} + \widehat {DAN} = \widehat {NAE} + \widehat {DAN} + \widehat {CAD}\]
\[ \Rightarrow \widehat {MAN} = \widehat {CAE} = 180^\circ \]
Vậy M, A, N thẳng hàng.