Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AH. Gọi M và N là hình chiếu của H lên AB và AC

Đề bài: Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AH. Gọi M và N là hình chiếu của H lên AB và AC. CMR: AB . AM = AC . AN

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Xét tứ giác AMHN có $\widehat{ANM}=\widehat{AHM}$ (1) (2 góc trong tứ giác nội tiếp cùng nhìn xuống cạnh AM)

Mà $\widehat{AHM}=\widehat{B}={90}^o –\widehat{BHM}\left(2\right)$

(1)(2) ⇒ $\widehat{ANM}=\widehat{B}$

Xét tam giác ANM và tam giác ABC có:

$\widehat{A}$ chung

$\widehat{ANM}=\widehat{B}$

tam giác ANM đồng dạng tam giác ABC (g – g)

$\frac{AN}{AB}=\frac{AM}{AC}\Rightarrow AN.AC=AB.AM$