Cho △ABC nhọn các đường cao AD và BE cắt tại H. Gọi M là trung điểm BC. P đối xứng với H qua BC, Q đối xứng với H qua M.
a) PQ // BC. Tứ giác DMQP là hình gì?
b) Chứng minh rằng: HCQB là hình bình hành.
a) Vì H đối xứng với P qua BC nên BC là đường trung trực của HP, hay HP⊥BC tại trung điểm của HP.
Suy ra D là trung điểm của HP nên \(\frac{{HD}}{{PQ}} = 1\) (1)
Mặt khác: H đối xứng với Q qua M nên M là trung điểm của HQ nên \(\frac{{HM}}{{MQ}} = 1\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{HD}}{{DP}} = \frac{{HM}}{{MQ}}\)
Theo định lý Talet đảo thì DM // PQ hay BC // PQ (đpcm)
Tứ giác DMQP có DM // PQ và \(\widehat D = 90^\circ \) do HP⊥BC tại D
Do đó tứ giác DMQP là hình thang vuông.
b) Tứ giác HCQB có hai đường chéo BC, HQ cắt nhau tại trung điểm M của mỗi đường nên suy ra HCQB là hình bình hành (đpcm).