Cho tam giác ABC một đường thẳng song song với cạnh BC cắt AB tại D và AC tại E. Trên tia đối của tia CA lấy điểm F sao cho CF = BD. Gọi M là giao diểm của DF và BC.
a) Chứng minh: \[\frac{{MD}}{{MF}} = \frac{{AC}}{{AB}}\].
b) Cho BC = 8 cm, BD = 5 cm, DE = 3 cm. Chứng minh DABC cân.
Vì DE // CM nên theo định lý Ta-lét ta có: \[\frac{{MD}}{{MF}} = \frac{{CE}}{{CF}}\].
Mà CF = BD nên \[\frac{{MD}}{{MF}} = \frac{{CE}}{{BD}}\] (1)
Lại có, do DE // BC nên theo định lý Ta-lét, ta có:
\[\frac{{AB}}{{BD}} = \frac{{AC}}{{CE}} \Rightarrow \frac{{CE}}{{BD}} = \frac{{AC}}{{AB}}\] (2)
Từ (1) và (2) suy ra \[\frac{{MD}}{{MF}} = \frac{{AC}}{{AB}}\].
b) Ta có: \[\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{DE}}{{BC}}\]
\[ \Rightarrow \frac{{AD}}{{5 + AD}} = \frac{3}{8}\]
Þ AD = 5 (cm)
Þ AB = 8 (cm)
Mà BC = 8 (cm) nên AB = AC.
Do đó DABC cân tại B .