Cho tam giác ABC lấy điểm C₁ thuộc cạnh AB, A₁ thuộc cạnh BC, B₁ thuộc cạnh AC. Biết rằng độ dài các đoạn thẳng AA₁, BB₁, CC₁ không lớn hơn 1. Chứng minh rằng S_ABC ≤ \(\frac{1}{{\sqrt 3 }}\).

Không mất tính tổng quát giả sử: \(\widehat A \ge \widehat B \ge \widehat C\)≥ 60° suy ra: \(\widehat A\)≥ 60°

Trường hợp 1: 60° ≤ \(\widehat A\)≤ 90°

Kẻ CH ⊥ AB, BK ⊥ AC

S_ABC = \(\frac{1}{2}CH.AB\)

Mà CH ≤ CC₁ ≤ 1

Lại có: AB = \(\frac{{BK}}{{\sin A}} \le \frac{{B{B_1}}}{{\sin A}} \le \frac{1}{{\sin A}} \le \frac{1}{{\sin 60^\circ }} = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\)

Nên S_ABC ≤ \(\frac{1}{2}.1.\frac{2}{{\sqrt 3 }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)

Trường hợp 2: \(\widehat A\)≥ 90°

AB ≤ BB₁ ≤ 1

CH ≤ CC₁ ≤ 1

S_ABC = \(\frac{1}{2}CH.AB \le \frac{1}{2}.1.1 = \frac{1}{2} < \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)

Vậy S_ABC ≤ \(\frac{1}{{\sqrt 3 }}\).