Cho tam giác ABC, I là một điểm trong tam giác, IA, IB, IC theo thứ tự cắt BC, CA, AB ở M, N, P. Chứng minh rằng: \(\frac{{NA}}{{NC}} + \frac{{PA}}{{PB}} = \frac{{IA}}{{IM}}\).
Qua A kẻ đường thắng song song với BC. Đường thẳng này cắt BN, CP lần lượt ở E và F.
Áp dụng hệ quả của định lý Ta-lét cho AE // BC và FA // BC, ta được:
\(\frac{{NA}}{{NC}} = \frac{{EA}}{{BC}}\) (1)
\(\frac{{PA}}{{PB}} = \frac{{AF}}{{BC}}\) (2)
Cộng theo vế các đẳng thức (1) và (2), ta được:
\(\frac{{NA}}{{NC}} + \frac{{PA}}{{PB}} = \frac{{EF}}{{BC}} = \frac{{IA}}{{IM}}\)
\( \Rightarrow \frac{{NA}}{{NC}} + \frac{{PA}}{{PB}} = \frac{{IA}}{{IM}}\) (đpcm)