Cho tam giác ABC. Gọi ma là độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A
Cho tam giác ABC. Gọi ma là độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A.
Chứng minh \[{m_a} = \sqrt {\frac{{2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}}}{4}} \]
Cho tam giác ABC. Gọi ma là độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A.
Chứng minh \[{m_a} = \sqrt {\frac{{2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}}}{4}} \]
Gọi M là trung điểm của BC
Þ AM là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A hay AM = ma.
Đặt AB = c, BC = a, CA = b.
Kẻ BH ^ AM, CK ^ AM
Þ BH // CK
\[ \Rightarrow \frac{{BH}}{{CK}} = \frac{{MB}}{{MC}} = \frac{{MH}}{{MK}} = 1\] (áp dụng định lý Ta-lét)
Þ MH = MK
Ta có: BC2 = (BM + MC)2 = (2BM)2 = 4BM2
Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông AHB, ta có:
AB2 = AH2 + HB2
Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông MHB, ta có:
BM2 = HM2 + HB2
Þ 2AB2 – 2BM2 = 2(AH2 + HB2) – 2(HM2 + HB2)
= 2AH2 – 2HM2 = 2(AH + MH)(AH – MH)
Þ 2AB2 – 2BM2 = 2. AM. (AH – MH) (1)
Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông AKC, ta có:
AC2 = AK2 + KC2
Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông MKC, ta có:
CM2 = KM2 + KC2
Þ 2AC2 – 2CM2 = 2(AK2 + KC2) – 2(KM2 + KC2)
= 2AK2 – 2KM2 = 2(AK + MK)(AK – MK)
Þ 2AC2 – 2CM2 = 2. AM. (AK + MK) (2)
Từ (1) và (2) ta có:
2AB2 – 2BM2 + 2AC2 – 2CM2 = 2. AM. (AH – MH) + 2. AM. (AK + MK)
Þ 2AB2 + 2AC2 – 4BM2 = 2. AM. (AH – MH + AK + MK)
Þ 2AB2 + 2AC2 – BC2 = 2. AM. 2AM (vì MH = MK) = 4AM2
Þ 2c2 + 2b2 – a2 = 4ma2 hay \[{m_a} = \sqrt {\frac{{2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}}}{4}} \]
Vậy \[{m_a} = \sqrt {\frac{{2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}}}{4}} \].