Cho tam giác ABC. Điểm M là điểm chính giữa cạnh AB. Trên cạnh AC lấy AN bằng \(\frac{1}{2}\) NC. Hai đoạn thẳng BN và CM cắt nhau tại K. Hãy tính diện tích tam giác AKC? Biết diện tích tam giác KAB bằng 42 dm2.
Kẻ hai đường cao AD, CF tới đường thẳng BN.
Ta có: M là điểm chính giữa cạnh AB\( \Rightarrow \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{1}{2}\)
CN = 2AN\( \Rightarrow \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{1}{3}\)
SAKM = SBKM (Do có cùng chiều cao hạ từ K xuống AB và đáy MA = MB)
Mà SACM = SBCM (Do có cùng chiều cao hạ từ C xuống AB và đáy MA = MB)
Nên suy ra SAKC = SBKC
Lại có: \({S_{AKN}} = \frac{1}{2}{S_{CKN}}\) (Do có cùng chiều cao hạ từ K xuống AC và đáy CN = 2AN)
Do đó nếu coi A, C là đỉnh thì 2 tam giác trên có diện tích gấp đôi nhưng chung đáy NK nên chiều cao phải gấp đôi nhau
Suy ra \(AD = \frac{1}{2}CF\)
Do đó \({S_{AOB}} = \frac{1}{2}{S_{COB}}\) (Do có chung đáy OB mà hai đường cao\(AD = \frac{1}{2}CF\))
Vậy \({S_{AKC}} = {S_{BKC}} = 2{S_{KAB}} = 2\,.\,42 = 84\;\left( {d{m^2}} \right)\)