Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a, M là điểm di động trên đường thẳng AC. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| + 3\left| {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|\).

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, N là trung điểm của AC.

Suy ra ba điểm B, G, N thẳng hàng.

Dựng hình bình hành ABCD.

Khi đó trung điểm N của AC cũng là trung điểm của đoạn BD.

Ta có \(T = \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| + 3\left| {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|\)

\( = \left| {3\overrightarrow {MG} } \right| + 3\left| {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {MC} } \right|\)

\( = 3MG + 3\left| {\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {MC} } \right|\)

\( = 3MG + 3\left| {\overrightarrow {MD} } \right|\)

= 3(MG + MD) ≥ 3GD (theo bất đẳng thức tam giác).

Dấu “=” xảy ra ⇔ M là giao điểm của GD và AC hay M là trung điểm của AC.

Khi đó M trùng N.

Vì tam giác ABC đều nên đường trung tuyến BN cũng là đường cao của tam giác ABC.

Tam giác ABN vuông tại N: \(BN = \sqrt {A{B^2} - A{N^2}} = \sqrt {A{B^2} - \frac{{A{C^2}}}{4}} = \sqrt {{a^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Khi đó \(GN = \frac{1}{3}BN = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\) và \(ND = BN = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Vì vậy \(3GD = 3\left( {GN + ND} \right) = 3\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{6} + \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right) = 2a\sqrt 3 \).

Vậy \({T_{\min }} = 2a\sqrt 3 \) khi M là trung điểm của AC.