Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AM và K là điểm trên
Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AM và K là điểm trên cạnh AC sao cho \(AK = \frac{{AC}}{3}\). Chứng minh B, I, K thẳng hàng.
Đặt \(\overrightarrow u = \overrightarrow {BA} ,\;\overrightarrow v = \overrightarrow {BC} \)
Ta có:
\(\overrightarrow {BK} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AK} = \overrightarrow u + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BA} } \right) = \overrightarrow u + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow v - \overrightarrow u } \right) = \frac{2}{3}\overrightarrow u + \frac{1}{3}\overrightarrow v \)
\(\overrightarrow {BI} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BM} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow u + \frac{1}{2}\overrightarrow v } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow u + \frac{1}{4}\overrightarrow v \)
Do đó: \(3\overrightarrow {BK} = 4\overrightarrow {BI} \) nên \(\overrightarrow {BK} = \frac{4}{3}\overrightarrow {BI} \)
Do đó B, I, K thẳng hàng.