Cho tam giác ABC có M là điểm chính giữa cạnh AB. Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho CN = 2AN.Đoạn thẳng BN cắt CM ở O.Biết diện tích tam giác OBC bằng 20cm2. Tính diện tích tam giác ABC.
Kẻ hai đường cao AD, CF tới đường thẳng BN.
Ta có: M là điểm chính giữa cạnh AB\( \Rightarrow \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{1}{2}\)
CN = 2AN\( \Rightarrow \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{1}{3}\)
SAOM = SBOM (Do có cùng chiều cao hạ từ O xuống AB và đáy MA = MB)
Mà SACM = SBCM (Do có cùng chiều cao hạ từ C xuống AB và đáy MA = MB)
Nên suy ra SAOC = SBOC
Lại có: \({S_{AON}} = \frac{1}{2}{S_{CON}}\) (Do có cùng chiều cao hạ từ O xuống AC và đáy CN = 2AN)
Do đó nếu coi A, C là đỉnh thì 2 tam giác trên có diện tích gấp đôi nhưng chung đáy ON nên chiều cao phải gấp đôi nhau
Suy ra \(AD = \frac{1}{2}CF\)
Do đó \({S_{AOB}} = \frac{1}{2}{S_{COB}}\) (do có chung đáy OB mà hai đường cao\(AD = \frac{1}{2}CF\))
Vậy \({S_{ABC}} = {S_{AOB}} + {S_{OBC}} + {S_{AOC}} = \frac{1}{2}{S_{OBC}} + {S_{OBC}} + {S_{OBC}} = \frac{5}{2}\,.\,20 = 50\;\left( {c{m^2}} \right)\)