Cho tam giác ABC có $\widehat{ABC}=45°;\widehat{ACB}=30°$ và $AC=2a$. Tính thể tích khối tròn xoay nhận được khi quay đường gấp khúc BAC quanh trục BC?

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BC.
Xét tam giác ACH vuông tại H, có AC = 2a, $\widehat{ACB}=30°$ nên $AH=\frac{1}{2}.AC=\frac{1}{2}.2a=a$
và $HC=\frac{\sqrt{3}}{2}.AC=a\sqrt{3}$.
Tam giác ABH vuông tại H, có AH = a, $\widehat{ABC}=45°$ nên $BH=AH=a$.
Quay đường gấp khúc BAC quanh trục BC thu được khối tròn xoay có hình dạng là hai khối nón đỉnh B và đỉnh C, chung đáy là đường tròn (H; HA).
Xét khối nón $\left(N_1\right)$ có đỉnh là B, đáy là đường tròn $\left(H;HA\right)$ có $V_{N_1}=\frac{1}{3}\pi .BH.A{H}^2=\frac{1}{3}\pi a^3$ Xét khối nón $\left(N_2\right)$ có đỉnh là C, đáy là đường tròn (H; HA) có $V_{N_2}=\frac{1}{3}\pi .CH.A{H}^2=\frac{\sqrt{3}}{3}\pi a^3$ Vậy thể tích khối tròn xoay nhận được bằng: $V=V_{N_1}+V_{N_2}=\frac{\sqrt{3}+1}{3}\pi a^3$.