Cho tam giác ABC có đường trung tuyến BD. Trên tia đối của tia DB lấy điểm E sao cho DE = BD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, CE. Gọi I, K lần lượt là giao điểm của AM, AN với BE. Chứng minh BI = IK = KE.
Xét tam giác ABC có BD và AM là các đường trung tuyến, BD cắt AM tại I.
Suy ra I là trọng tâm của tam giác ABC
Nên \[BI = \frac{2}{3}BD\,\,(1)\]
Xét tam giác AEC có ED và AN là các đường trung tuyến, ED cắt AN tại K.
Suy ra K là trọng tâm của tam giác AEC.
Nên \[EK = \frac{2}{3}ED\,\,(2)\]
Mặt khác BD = DE, DB + DE = BE
Nên \[BD = DE = \frac{1}{2}BE\,\,\](3)
Từ (1), (2) và (3) ta có:
\[BI = EK = \frac{2}{3}BD = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}BE\,\, = \frac{1}{3}BE\]
Ta lại có: BI + IK + KE = BE
\[\, \Rightarrow \frac{1}{3}BE + IK + \frac{1}{3}BE = BE\]
\[ \Rightarrow IK = \frac{1}{3}BE\]
Do đó BI = IK = EK (cùng bằng \[\frac{1}{3}BE\])
Vậy BI = IK = EK.