Xét tam giác ABC có:

EA = EB (vì CE là đường trung tuyến ứng với cạnh AB)

DA = DC (vì BD là đường trung tuyến ứng với cạnh AC)

⇒ DE // BC và \[DE = \frac{1}{2}BC\] (tính chất đường trung bình trong tam giác)

Xét tam giác GBC có:

MG = MB (vì M là trung điểm của GB)

NG = NC (vì N là trung điểm của GC)

⇒ MN // BC và \[MN = \frac{1}{2}BC\] (tính chất đường trung bình trong tam giác)

Xét tam giác GMN có:

IG = IM (vì I là trung điểm của GM

KG = KN (vì K là trung điểm của GN)

⇒ IK // MN và \[IK = \frac{1}{2}MN = \frac{1}{4}BC\] (tính chất đường trung bình trong tam giác)

\[ \Rightarrow DE + IK = \frac{1}{2}BC + \frac{1}{4}BC = \frac{3}{4}BC = \frac{3}{4} \cdot 10 = 7,5\,\,cm\]

Vậy DE + IK = 7,5 cm.