a) Tứ giác AECD, có hai đường chéo AC và DE cắt nhau tại O.

Mà O là trung điểm của AC (giả thiết) và O cũng là trung điểm của DE (điểm E đối xứng với điểm D qua điểm O).

Suy ra tứ giác AECD là hình bình hành.

Lại có \[\widehat {ADC} = 90^\circ \] (AD ⊥ BC).

Vậy tứ giác AECD là hình chữ nhật.

b) Tam giác ABC cân tại A có AD vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến.

Suy ra D là trung điểm BC.

Do đó BD = CD    (1)

Vì AECD là hình chữ nhật nên AE // CD và AE = CD    (2)

Từ (1), (2), suy ra AE = BD.

Tứ giác AEDB, có: AE // BD và AE = CD (chứng minh trên).

Suy ra tứ giác AEDB là hình bình hành.

Mà I là trung điểm của AD.

Vậy I cũng là trung điểm của BE.

c) Ta có D là trung điểm BC. Suy ra \(BD = CD = \frac{{BC}}{2} = \frac{{12}}{2} = 6\) (cm).

Tam giác ACD có O, I lần lượt là trung điểm của AC, AD.

Suy ra OI là đường trung bình của tam giác ACD.

Do đó OI // CD và \(OI = \frac{{CD}}{2} = \frac{6}{2} = 3\) (cm).

Tam giác ABD vuông tại D: AD² = AB² – BD² = 10² – 6² = 64.

Suy ra AD = 8 (cm).

Ta có OI // CD (chứng minh trên) và CD ⊥ AD (tam giác ABC có AD là đường cao).

Suy ra OI ⊥ AD.

Diện tích tam giác OAD là: \({S_{\Delta OAD}} = \frac{1}{2}OI.AD = \frac{1}{2}.3.8 = 12\,\,\left( {c{m^2}} \right)\).

Vậy diện tích tam giác OAD bằng 12 cm².

d) Vì tứ giác AEDB là hình bình hành nên AK // DE.

Suy ra tứ giác AEDK là hình thang.

Do đó để AKDE là hình thang cân thì \(\widehat {AED} = \widehat {KDE}\) (hai góc kề một đáy bằng nhau).

Ta có tứ giác AEDB là hình bình hành (chứng minh trên).

Suy ra OD // AK   (3)

Tam giác ABC có OK // BC (chứng minh trên) và O là trung điểm AC (giả thiết).

Suy ra OK là đường trung bình của tam giác ABC.

Do đó K là trung điểm của AB.

Tam giác ABC có D, K lần lượt là trung điểm của BC, AB.

Suy ra DK là đường trung bình của tam giác ABC.

Do đó DK // AO   (4)

Từ (3), (4), suy ra tứ giác AODK là hình bình hành.

Khi đó \(\widehat {KAO} = \widehat {KDO}\) (hai góc đối nhau).

Mà \(\widehat {AED} = \widehat {ABD}\) (hai góc đối nhau trong hình bình hành AEDB).

Do đó nếu \(\widehat {AED} = \widehat {KDE}\) thì \(\widehat {ABD} = \widehat {KAO}\).

Mà \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (tam giác ABC cân tại A).

Suy ra \[\widehat {BAC} = \widehat {ABC} = \widehat {ACB}\].

Khi đó tam giác ABC đều.

Vậy tam giác ABC là tam giác đều thì tứ giác AEDK là hình thang cân.