Cho tam giác ABC cân tại A có cạnh bên bằng 6 cm và \[\widehat {BAC} = 120^\circ \]. Điểm M thuộc cạnh AB sao cho \[AM = \frac{1}{3}AB\]và N là trung điểm AC. Tính tích vô hướng \[\overrightarrow {BN} .\overrightarrow {CM} \].

\[\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AN} = - \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \]

\[\overrightarrow {CM} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AM} = - \overrightarrow {AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \]

\[\overrightarrow {BN} .\overrightarrow {CM} = \left( { - \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} } \right)\left( { - \overrightarrow {AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} } \right)\]

\[\overrightarrow {BN} .\overrightarrow {CM} = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - \frac{1}{2}A{C^2} - \frac{1}{3}A{B^2} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \]

\[\overrightarrow {BN} .\overrightarrow {CM} = - \frac{1}{2}A{C^2} - \frac{1}{3}A{B^2} + \frac{7}{6}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \]

Lại có: \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \widehat A = 6.6.\left( { - \frac{1}{2}} \right) = - 18\]

\[ \Rightarrow \overrightarrow {BN} .\overrightarrow {CM} = - \frac{1}{2}{6^2} - \frac{1}{3}{6^2} + \frac{7}{6} \cdot ( - 18) = - 51\]

Vậy \[\overrightarrow {BN} .\overrightarrow {CM} = - 51\].