Cho tam giác ABC cân tại A, AB = AC = m, BC = n. Đường phân giác góc B cắt AC tại I, đường phân giác góc C cắt AB tại H. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Đáp án đúng là: C

Tam giác ABC có:

+ BI là đường phân giác của góc B.

Do đó ta có: $\frac{\text{AI}}{\text{IC}}=\frac{\text{AB}}{\text{BC}}$  hay $\frac{\text{AI}}{\text{IC}}=\frac{\text{m}}{\text{n}}$  (1).

+ CH là đường phân giác của góc C.

Do đó ta có: $\frac{\text{AH}}{\text{HB}}=\frac{\text{AC}}{\text{BC}}$  hay $\frac{\text{AH}}{\text{HB}}=\frac{\text{m}}{\text{n}}$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{\text{AH}}{\text{HB}}=\frac{\text{AI}}{\text{IC}}=\frac{\text{m}}{\text{n}}$ .

Theo định lí Thalès đảo ta suy ra HI // BC.

Theo (2) ta có $\frac{\text{AH}}{\text{HB}}=\frac{\text{m}}{\text{n}}$  nên $\frac{\text{AH+HB}}{\text{HB}}=\frac{\text{m + n}}{\text{n}}$   hay $\frac{\text{AB}}{\text{HB}}=\frac{\text{m + n}}{\text{n}}$  .

Suy ra  $\frac{\text{HB}}{\text{AB}}=\frac{\text{n}}{\text{m + n}}$, khi đó, $\frac{\text{HA}}{\text{AB}}=\frac{AB-HB}{AB}=1-\frac{HB}{AB}=\frac{\text{m}}{\text{m + n}}$  .

Vì HI // BC nên ta có: $\frac{\text{AH}}{\text{AB}}=\frac{\text{HI}}{\text{BC}}$ .

Suy ra $\text{HI}=\frac{\text{AH}}{\text{AB}}\cdot \text{BC=}\frac{\text{m}}{\text{m + n}}\cdot \text{n}=\frac{\text{mn}}{\text{m + n}}$ .