Cho tam giác ABC. Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau ở I. Qua I kẻ đường thẳng song song với BC. Gọi giao điểm của đường thẳng này với AB, AC theo thứ tự D, E. Chứng minh rằng DE = BD + CE.
Ta có: BI là tia phân giác \[\widehat B\]\[ \Rightarrow \widehat {DBI} = \widehat {IBC}\]
Mà \[\widehat {DIB} = \widehat {IBC}\] (2 góc so le trong do DE // BC)
\[ \Rightarrow \widehat {DIB} = \widehat {DBI}\]⇒ ∆ DBI cân tại D.
⇒ BD = DI.
Ta có: CI là phân giác \[\widehat C\] \[ \Rightarrow \widehat {ECI} = \widehat {ICB}\]
Mà \[\widehat {EIC} = \widehat {ICB}\] (2 góc so le trong do DE // BC)
\[ \Rightarrow \widehat {ECI} = \widehat {EIC}\] ⇒ ∆CEI cân tại E.
⇒ CE = IE.
Ta có: BD = DI; CE = IE
⇒ BD + CE = DI + IE
Hay BD + CE = DE.